열역학 자료 4: 점성, 열전도율, 확산에 대하여 1

1. 세 물리양의 유사성.

 

 이번 자료에선 지난 2번의 자료에서 다룬 입자 동역학 지식을 활용하여, 점성, 열전도율, 확산계수 세가지 물리양에 관해 다루도록 하겠습니다. 이 세 물리양을 한 자료에서 다루려는 이유는 여러가지 측면에서 상당한 유사성을 갖고 있기 때문입니다. 이 세가지 수치는 기체 상태에서 모두 기체의 확산 현상에 의해서 정해집니다. 때문에 이 세 수치를 좀 더 기본적인 물리량들로 표현하면, 상당히 유사한 형태를 갖습니다. 그 수식들은 아래와 같습니다.

람다를 제외한 각 기호들이 무엇을 뜻하는 지는 아래서 유도할 때 언급하겠습니다. 람다는 Mean free path라 명명된 물리량으로 입자가 충돌하지 않고 이동하는 평균 거리입니다. 세 수치 모두 입자의 확산현상으로 인해 발생하므로 이 Mean free path 값이 영향을 미칠 것같은 직감이 들것입니다.

 

 그렇다면 이 이야기를 전개하기 전에 이 세수치가 무엇이고 왜 입자의 확산현상과 관련되어 있는지 생각을 해보겠습니다. 먼저 점성부터 살피겠습니다.  점성은 흔히 유체의 끈적끈적한 정도라고 이해하고 있지요. 맞는 말씀입니다만 정량적으로는 어떻게 표현될 수 있을까요? 일반적으로 기계나 화공과 학부과정학생들이 2학년때 배우는 유체역학 교과서에서 그 표현을 처음 접할 수 있습니다.

그림은 두 판 사이에 이 때 타우는 유체 층 사이에 마찰로 인해 생기는 힘을 의미하고, Ux는 한 층에서 유체의 x방향 속력을 의미합니다. 즉 우변의 미분 기호는 높이 가 변함에 따라 x방향 속도 변화를 의미합니다. (그림에선 직선이므로 미분기호가 상수겠지요?) 즉, 저 수식의 의미는 높이 변화에 따라 속도 변화가 클수록 유체 층 사이에 마찰력이 강하다는 것이겠지요. 그리고 그 두 수치의 비례상수가 점성(에타)의 정량적 정의입니다. 다시 말하자면, 위치에 따른 속도변화와 유체 층 사이 마찰력은 비례하고 그 비례상수가 점성인 것입니다. 마찰력이 일정할 때, 점성이 크다면 속도변화는 적겠지요. 즉 가해진 힘이 일정해도 큰 점성의 유체는 변형이 적을 것입니다. 즉, 점성은 유체가 변화에 대해 견디려는 성질이라고 해석할 수도 있으며, 이는 끈적끈적한 정도와 일맥상통하지요. 정리하자면 점성은 두 가지 관점으로 이해될 수 있습니다.

(1)   유체의 사이 마찰력과 속도 변화 사이의 비례상수.

(2)   유체가 가해진 힘에 대해 견디려는 성질.

그리고 한 가지 더 세번째 관점에 대해 소개해드리겠습니다. (이 세번째 관점이 이번자료에서 제일 중요합니다.) 점성을 운동량 전달 계수로 이해하는 관점입니다. 유체 층 중에 상대적으로 빠른 층이 느린 층과 접하면서 흐르면, 느린 층을 점점 빠르게 만들고 빠른 층은 속도가 줄어들 것입니다. 이 과정을 운동량이 전달되는 것으로 보는 것이지요. 다시 점성의 정량적 정의 수식을 살펴봅시다. 우변은 마찰력, 즉 힘입니다. 힘이란 본질적으로 가해진 물체의 시간의 변화에 따른 운동량의 변화량과 같습니다. 좌변은 점성 곱하기 위치에 따른 속도 차입니다. 세번째 관점은 좌변을 원인 우변을 결과로 보는 것입니다. 즉 위치에 따른 속도차이(속도구배)가 원인이 되어 운동량이 전달된다는 관점이지요. 점성은 그 사이의 비례 상수입니다. 점성이 클수록 같은 크기의 속도구배에 대해서도 더 큰 운동량의 전달이 일어난다는 관점이지요. 그렇다면 열전도율과 확산계수에 대해서도 정량적인 수식을 적은 후 유사성을 비교해보겠습니다.

두번째 열에 관한 수식을 해석하자면, ‘위치에 따른 온도차이(온도구배)가 원인이 되어 열전달이 일어나고, 열전달율은 온도구배에 비례하며, 그 비례상수가 열전도율 k이다.’입니다. 세번째 입자확산에 대한 수식을 해석하자면, ‘입자의 밀도차이가 원인이 되어 확산현상이 일어나며, 입자의 전달율은 입자의 밀도차에 비례하며, 비례상수는 확산계수 D이다.’입니다. 유체에서 운동량 전달, 열전달, 입자 확산 모두 유사한 형태의 수식을 갖고 있습니다. 이는 세 현상 모두 입자의 확산을 통해 이동하기 때문에 같은 형태의 미분방정식을 통해 표현되는 것일 것입니다. 운동량 전달은 속도가 빠른 입자가 주변으로 이동하며 주변을 빠르게 만들고, 열전달도 온도가 높은(결국 이것도 빠른 것이 겠군요.) 입자가 주변으로 이동하며 발생하는 것이고, 입자전달은 입자 이동 그 자체를 다루는 현상이죠. 결국 세 현상 모두 입자의 이동으로 설명되는 현상들이며, 이 현상들에 원인과 결과 사이를 이어주는 비례상수들이 이번 자료에서 다루는 점성, 열전도율, 확산 계수가 되는 것이지요. 그럼 다음 섹션에선, 이번 섹션 가장 위에서 적은 점성, 열전도율 확산 계수 세 수치의 정량적인 수식을 유도해 보겠습니다. 감사합니다.