순열, 조합, 중복 순열, 중복 조합 (2/5)

이번 포스팅에서는 "중복 순열"에 대해서 알아보겠습니다.

"중복 순열"을 가장 먼저 설명하는 이유는 중복 순열이 이해하기 가장 쉽기 때문입니다.

 

앞선 포스팅에서 조합, 순열, 중복 조합, 중복 순열은 "n개 중에 r개를 뽑는 경우의 수"라고 설명을 드렸었습니다.

근데 그렇게 생각하면 n개가 r개 보다 크거나 같아야 할 것처럼 보입니다. 실제로 순열과 조합에서는 n이 r보다 크거나 같아야 합니다. 그래야 n개 중에서 r개를 뽑을 수 있기 때문입니다.

 

하지만 중복 순열과 중복 조합은 다릅니다.

n개 중에서 r개를 뽑되, 뽑은 뒤에 다시 되돌리는 "복원 추출" 방식이기 때문에 n이 꼭 r보다 크거나 같을 필요는 없습니다.

이런 복원 추출은 사실 "n개의 원소 각각이 무한히 있는 상황에서 r개를 뽑는 것"이라고 볼 수 있습니다.

또 다른 말로 하면 "n개의 종류에서 r개를 뽑는다"고도 볼 수 있습니다.

 

아무튼 다시 중복 순열로 돌아와서 n개 중에 r개를 뽑는 경우의 수를 보겠습니다.

구체적인 예시로는 1~3까지 숫자가 써진 3개의 숫자 카드 중에서 2장을 뽑는 경우의 수를 보겠습니다.

 

일단 첫 번째 시도에서 뽑을 수 있는 숫자는 1, 2, 3해서 총 3가지입니다.

뽑은 카드를 다시 넣고 두 번째 시도에서 뽑을 수 있는 숫자는 역시 1, 2, 3해서 총 3가지입니다.

그림으로 표현해보면 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

중복 순열은 순열이므로 순서를 신경씁니다.

"1을 뽑고 2를 뽑은 것"과, "2를 뽑고 1을 뽑은 것"은 다른 것으로 취급한다는 의미입니다.

따라서 결론적으로 위와 같은 경우들이 나오게 됩니다.

 

뽑는 숫자가 늘어나거나, 종류가 늘어나도 계속 이런 방식일테니 직관적으로 생각해보면

$$n^r$$

이 되는 것을 알 수 있습니다.

혹시나 잘 이해가 안 간다면 n과 r을 좀 키워서 생각해보시면 이해가 될 겁니다.

예제에서는 3개 중에 2개를 중복 순열로 뽑았으니 \(3^2 =9\)가 됩니다.

 

여기까지가 중복 순열에 대한 설명입니다.

다음 포스팅에서 나머지를 알아보도록 하겠습니다.