순열, 조합, 중복 순열, 중복 조합 (3/5)

이번 포스팅에서는 중복 순열 다음으로 이해하기 쉬운 순열에 대해서 이야기하겠습니다.

중복 순열이 아니라 그냥 순열이므로 n개에서 r개를 뽑을 때 n이 r보다 크거나 같아야 합니다.

 

저번 포스팅의 예제를 그대로 가져와서 3개의 숫자 카드 중 2개를 뽑는 경우의 수를 생각해보겠습니다.

일단 첫 번째 시도에서 뽑을 수 있는 숫자는 1, 2, 3해서 총 3가지입니다.

두 번째 시도에서 뽑을 수 있는 숫자는 첫 번째 시도에서 뽑은 숫자를 제외했기 때문에 총 2가지입니다.

역시나 그림으로 보겠습니다.

n과 r이 작아서 잘 안 느껴질 수 있지만 생각해보면 처음에 뽑을 때 가능한 수는 n개, 그 다음은 n-1개, 그 다음은 n-2개 입니다.

이렇게 총 r번 뽑게 됩니다.

결론적으로 수식으로 표현하면

$$n*(n-1)*(n-2)*...*(n-r+1)$$

이 된다는 것을 알 수 있습니다.

 

위 식을 다른 방식으로 표현하면 흔히 보는 수식인

$$_{n}P_{r}=\frac{n}{(n-r)!}$$

이 됩니다.

 

여기서 n과 r이 같은 경우를 생각해봅시다.

예를 들면 "3장의 카드를 3번 뽑는 경우"입니다.

결과를 나열해보면 아래와 같습니다.

생각해보면 알 수 있지만 이것은 "3장의 카드를 재배열하는 경우의 수"를 보는 것과 같습니다.

따라서 n개의 원소 중에서 n개를 중복 없이 뽑는 경우의 수는 n개의 원소를 재배열하는 경우의 수와 같다고 볼 수 있습니다.

 

위 상황을 수식으로 생각해봅시다.

위 수식대로라면 \(n*(n-1)*(n-2)*...*2*1\)이 될 것이고, 결론적으로는 정의에 의해서 \(n!\)이 될 것입니다.

 

\( _{n}P_{r}=\frac{n}{(n-r)!}\) 형태의 수식에서도 만족하는지 한 번 봅시다.

\(n=r\)이므로 \(_{n}P_{n}=\frac{n}{(n-n)!}=\frac{n}{0!}\)이 됩니다.

정의에 의해서 \(0!=1\)이므로 결과는 역시 \(n!\)로 동일함을 알 수 있습니다.

 

이번 포스팅을 마치기 전에 오늘 내용을 요약해보겠습니다.

1.n개에서 r개를 뽑는 경우의 수는 \(n*(n-1)*(n-2)*...*(n-r+1)\)과 같다.

2. 다른 식으로 표현하면 \(\frac{n}{(n-r)!}\) 과 같다.

3. n개를 재배열할 때의 모든 경우의 수는 \(n!\)이다.

지금까지 순열에 대해서 알아보았습니다.

 

다음 포스팅에서는 조합에 대해서 알아보도록 하겠습니다.